ความน่าจะเป็น Pt.5 [การแจกแจงอื่นๆที่น่าสนใจ]

 ใน 2 ส่วน ที่ผ่านมา (pt.3,pt.4) ได้มีการกล่าวถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง และ
การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ซึ่ง ในส่วนนี้จะกล่าวถึงการแจกแจงน่าสนใจ

• การแจกแจงแบบโคชี่ (Cauchy Distribution)
• การแจกแจงแบบพาเรโต (Pareto Distribution)
• การแจกแจงแบบที (Student's t-distribution)

1. การแจกแจงแบบโคชี่
   
   การแจกแจงแบบโคชี่ เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงจำนวนจริง ซึ่ง
   
   
   
   
   และเมื่อ  k=0 และ γ=1 จะได้ว่า
   
   
   
   
   ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสามารถหาได้จาก arctan(x)
2. การแจกแจงแบบพาเรโต
   
   ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มของการแจกแจงแบบพาเรโต (ในที่นี้จะกล่าวถึง Type-I เท่านั้น) แล้ว
   ความน่าจะป็นของ X เมื่อมากกว่า x จะได้ว่า 
   
   เมื่อ k เป็นจำนวนจริงบวกที่น้อยที่สุดของ X และ α เป็นจำนวนจริงบวก
   การแจกแจงแบบพาเรโต Type-I  มีลักษณะพิเศษโดย ค่า k (scale parameter) และ ค่า α (shape parameter หรือ tail index)
3. การแจกแจงแบบทีการแจกแจงแบบที เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่ สำคัญและนิยมใช้กันมาก
   การแจกแจงแบบที มีลักษณะคล้ายกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน โดยที่การแจกแจงทั้งสอง
   มีโค้งความถี่เป็นรูประฆังคว้ำ และ สมมาตรกันรอบค่าเฉลี่ย ซึ่งมีค่าเป็น 0 แต่การแจกแจงแบบที มีการผันแปรมากกว่า เนื่องจากค่าของ ที ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของค่าสถิติ 2 ค่า μ คือ σ² และ ในขณะที่ค่า z ขึ้นอยู่กับค่าสถิติเพียงค่าเดียวดังนั้นการแจกแจง t และ z ต่างกันเนื่องจากขนาดของตัวอย่ างท่ี่ใช้แต่การแจกแจงทั้ งสองจะไม่แตกต่างกันเมื่อขนาดตัวอย่างที่ใช้มีขนาดใหญ่มา
   
   ถ้า Z เป็นตัวแปรสุ่มแบบปกติ และ Y เป็นตัวแปรสุ่มแบบไคสแควร์ด้วยองศาอิสระ v
   และถ้า Z และ Y เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นอิสระกันแล้วตัวแปรสุ่ม
   จะมีการแจกแจงแบบทีด้วยองศาอิสระ v  และมีฟังก์ชันความน่าจะป็น
   
   

cr.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution

https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution
https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution
http://www.stat.rmutt.ac.th/general154/ch04.pdf

https://sites.google.com/site/mystatistics01/chapter1/sampling-distributions

ความน่าจะเป็น Pt.4 [การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง]

ในบางครั้งที่ตัวแปรสุ่มมีค่าเป็นจานวนจริงใดๆ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
นั้นจะเรียกว่าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ซึ่งมีการแจกแจงที่สำคัญเช่น

• การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ (Uniform Distribution)
• การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
• การแจกแจงแบบแกมมา (Gamma Distribution)
• การแจกแจงแบบเอ็กโปเนนเชียล (Exponential Distribution)
• การแจกแจงแบบไคแสควร์ (Chi-Squared Distribution)

1. การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ
   
   การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วง [a, b] ดังนั้น
   
   
2. การแจกแจงแบบปกติ
   
   การแจกแจงแบบปกติ เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สำคัญที่สุดเพราะเป็นการแจกแจงที่ได้ถูกนำไปใช้กันอย่างมากและแพร่หลาย กราฟของการแจกแจงปกติ
   
   
   (รูปภาพจากhttp://www.oxfordmathcenter.com/drupal7/node/300)
   
   รูปของโค้งปกติ (Normal Curve) เป็นรูปโค้งแบบระฆัง ทั้งนี้ฟังก์ชันหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติ เป็นดังนี้
   
   
3. การแจกแจงแบบแกมมา
   
   ถึงแม้ว่าการแจกแจงแบบปกติ จะมีการใช้กันอย่างมาก อย่างไรก็ตามมีบางฟังก์ชันที่เป็น
   ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ที่มีการนาไปประยุกต์ใช้ในหลายเรื่อง เช่นในการจาลองระบบงานต่างๆ เป็นต้น
   การแจกแจงดังกล่าวคือ การแจกแจงแบบแกมมา ซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นจะเป็นคือ
   
   
4. การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล
   
   การแจกแจงแบบแกมมา โดยทั่วไปอาจมีที่นาไปใช้ไม่มากเท่าใดนัก แต่สำหรับการแจกแจงแกมมาที่มีค่าพารามิเตอร์ α = 1 หรือ
   
   
   
   เรียกการแจกแจงนี้ว่าเป็นการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล ซึ่งการแจกแจงแบบนี้ ได้ถูกนำไปใช้กันอย่างมาก ในเรื่องของทฤษฎีความน่าเชื่อถือ (Reliability Theory) ในเรื่องของการจำลอง(Simulation) และการนำไปประยุกต์ในเรื่องของระบบแถวคอย (Queuing Systems) เป็นต้น
5. การแจกแจงแบบไคสแควร์
   
   การแจกแจงแบบไคสแคว์ เป็นการแจกแจงที่ได้จากการแจกแจงแบบแกมมาเช่นกัน ทั้งนี้ การแจกแจงแบบไคแสควร์จะเป็นการแจกแจงแบบแกมมาโดยที่ α = k/2 และ β = 2 โดยมี
   ฟังก์ชันหนาแน่นความน่าจะเป็นเป็นดังนี้
   
   เมื่อ x มีค่าอื่นๆ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งการแจกแจงแบบนี้ มีบทบาทที่สำคัญมากทางด้านสถิติโดยเฉพาะเรื่องที่เกี่่ยวกับการประมาณค่า (Estimation) และการทดสอบสมมุติฐาน (Hypothesis Testing)

cr.
http://www.oxfordmathcenter.com/drupal7/node/300

http://as.nida.ac.th/books/jugkarin/Math-Pdf/

ความน่าจะเป็น Pt.3 [การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง]

สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของแต่ละค่าของตัว
แปรสุ่ม X บางครั้งสามารถเขียนแทนด้วย f (x) ซึ่งจะมีลักษณะแตกต่างกันออกไป ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับแต่ละ
ตัวแปรสุ่ม X
การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่สำคัญๆ เช่น

• การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ (Uniform Distribution)
• การแจกแจงแบบแเบนูลี (Bernoulli Distribution)
• การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution)
• การแจกแจงแบบไฮเปอร์จิออเมตริก (Hypergeometric Distribution)
• การแจกแจงแบบทวินามลบ (Negative Binomial Distribution)
• การแจกแจงเรขาคณิต (Geometric Distribution)
• การแจกแจงปัวซอง (Poisson Distribution)

1. การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ
   การแจกแจงแบบนี้เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ที่ค่าของแต่ละตัวแปรสุ่มมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน กล่าวคือสาหรับตัวแปรสุ่ม X โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มมีค่าเป็น x1, x2, …, xn และความน่าจะเป็นของแต่ละค่ามีค่าเท่ากันแล้วจะได้ว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ    เมื่อ x = x1, x2, …, xn
2. การแจกแจงแบบแบนูลี
   
   ในการทดลองสุ่มที่ผลที่ได้จากการทดลองเป็นไปได้ 2 แบบ คือแบบที่เราสนใจ ซึ่งเราจะเรียกว่าความสาเร็จ (Success) และแบบที่เราไม่สนใจ หรือที่เรียกว่าเป็นความไม่สาเร็จ (Failure) เช่น
   ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเราสนใจการที่เหรียญจะขึ้นหัวหรือไม่ เราอาจจะเรียกการที่เหรียญขึ้น หัว ว่าเป็นความสาเร็จและการที่เหรียญขึ้นก้อยถือเป็นความไม่สาเร็จ หรือในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก ถ้า เราสนใจการที่ลูกเต๋าขึ้นหน้า 1 หรือไม่ เราก็อาจจะเรียกการที่ลูกเต๋าได้แต้ม 1 เป็นความสาเร็จ และการที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าอื่นๆ เป็นความไม่สาเร็จ เป็นต้น การแจกแจงของการทดลองดังกล่าวเพียง 1 ครั้ง เรียกว่าเป็นการแจกแจงแบบแบนูลี
   ให้ X = 1 เมื่อผลการทดลองเป็นความสำเร็จ
        X = 0 เมื่อผลการทดลองเป็นความไม่สำเร็จ
   ดังนั้น X เป็นตัวแปรสุ่ม
   ถ้าให้ p เป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จ
   จะได้ว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เป็นดังนี้
   
   
   
   เมื่อ x = 0, 1
3. การแจกแจงแบบทวินาม
   
   การแจกแจงแบบทวินามนั้น จะได้จากการทดลองที่เป็นแบบแบนูลี ต่างกันที่แบบแบนูลีทำ
   การทดลองเพียงครั้งเดียว แต่การแจกแจงแบบทวินามการทดลองจะซ้าๆ กัน n ครั้ง ทั้งนี้การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน ถ้า X เป็นจำนวนครั้งของความสาเร็จ จะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นของ x คือ
   
   
   
   เมื่อ x = 0, 1, 2,…, n
4. การแจกแจงแบบไฮเปอร์จิออเมตริก
   
   ในการทดลองที่เป็นการสุ่มหยิบของที่แบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มหนึ่งเป็นของที่เราให้ความสนใจ ซึ่งการหยิบได้ของแบบนี้ถือเป็นความสำเร็จ และอีกกลุ่มหนึ่งถ้าหยิบได้ก็ถือว่าเป็นความไม่สำเร็จ ถ้าจำนวนของทั้งหมดมี N ชิ้น โดยแบ่งเป็นของที่เป็นความสำเร็จ k ชิ้น ดังนั้นของที่นับเป็นความไม่สำเร็จมี N – k ชิ้น ในการสุ่มหยิบของจำนวน n ชิ้น ถ้าให้ x จำนวนของที่นับเป็นความสำเร็จที่หยิบได้ จะได้ว่า x เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้
   
   
   
   เมื่อ x = 0, 1, 2, …, min {k, n}
5. การแจกแจงทวินามลบ
   
   ในการทดลองซ้ำๆ กัน โดยที่การทดลองแต่ละครั้งมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่สำเร็จกับความสำเร็จนั้น ถ้าให้ X เป็นจำนวนครั้งที่ทดลองแล้วได้ความสำเร็จเป็นครั้งที่ k จะได้ว่า x เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้
   
   
   
   เมื่อ x = k, k+1, k+2, … ทั้งนี้ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง
6. การแจกแจงเรขาคณิต
   
   สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงทวินามลบ b*(x; k, p) ถ้า k = 1 จะหมายถึงว่าการทดลองนั้น
   สาเร็จเป็นครั้งแรกของการทดลองครั้งที่ x ดังนั้นถ้าให้ X คือจานวนครั้งของการทดลองดังกล่าว จะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นคือ
   
   
   
   เมื่อ x = 0, 1, 2, …
7. การแจกแจงปัวซอง
   
   ในการทดลองหนึ่งๆ ถ้าให้ X เป็นจานวนของเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งหรือในอาณาบริเวณหนึ่งๆ ถ้า λ เป็นค่าเฉลี่ยของจานวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่จากัดหรือในอาณาบริเวณที่จากัดดังกล่าวนั้น จะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มโดยที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้
   
   
   
   เมื่อ x = 0, 1, 2, …

cr.
http://as.nida.ac.th/books/jugkarin/Math-Pdf/

ความน่าจะเป็น Pt.2 [การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม]

ตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันหรือเงื่อนไขที่ทำการเปลี่ยนเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นจากการทดลองหรือการสุ่มสิ่งตัวอย่างให้เป็นตัวเลข ซึ่งตัวแปรสุ่มนี้นิยมเขียนแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษ เช่น X, Y, Z เป็นต้น
ตัวอย่าง จงเขียนตัวแปรสุ่มของจำนวนหัวจากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง
วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนหัว และกำหนดให้ H เป็นหัว และ T เป็นก้อย
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

ดังนั้น X = 0, 1, 2, 3

ตัวแปรสุ่มแบ่งได้ 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าตัวเลขที่เขียนแทนตัวแปรสุ่มนั้น ๆ เช่นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

1. ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable )






ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องถ้าค่าทั้งหมดของ X มีจำนวนจำกัด ถ้ามีจำนวนอนันต์ค่าแต่ละค่าจะต้องแตกต่างกันอย่างชัดแจ้ง โดยมากตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องจะบ่งบอกถึงจำนวนที่ได้จากการนับ     เช่น    จำนวนตู้เย็นที่มีตำหนิกำไรที่ได้จากการขายตู้เย็น   จำนวนนักศึกษาในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นต้น

2. ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ( Continuous random variable )

        ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ค่าของ X จะมีค่าต่อเนื่องกันจนไม่สามารถจะทราบค่าที่บอก

ตำแหน่งของแต่ละจุดได้ ซึ่งจะเป็นตัวแปรสุ่มที่บ่งบอกถึงค่าที่ได้จากการชั่ง ตวง วัด เช่น น้ำหนักของเด็กแรกเกิด ปริมาณน้ำที่ใช้ในประเทศ ความสูงของคนไทยอายุ 20 ปีขึ้นไป เป็นต้น

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

    ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของตัวแปรสุ่ม ๆ แต่ละตัวจะไม่เท่ากันซึ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนั้นมี 2 ชนิด คือฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง กับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Probability mass function)

ค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละค่า จะมีค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรงเหรียญหนึ่งจำนวน 2 ครั้ง ถ้าให้ X เป็นจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว จะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มโดย ที่ค่าของ X เท่ากับ 0, 1, 2 และค่าความน่าจะเป็นของแต่ละค่าตัวแปรสุ่มจะมีค่าดังนี้

P(X = 0) = 0.25 , P(X = 1) = 0.5 , P(X = 2) = 0.25 ,

การเขียนค่าของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าของตัวแปรสุ่ม x นั้นบางครั้งเขียนในรูปของ

f (x) โดยที่ f (x) = P(X = x)

เซตของคู่อันดับ (x, f (x)) จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือการแจกแจงความน่าจะ
เป็นของตัวแปรสุ่ม X ถ้าสาหรับแต่ละค่าของตัวแปรสุ่ม X สอดคล้องเงื่อนไขดังต่อไปนี้

• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง (Probability density function)

สำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นแบบต่อเนื่อง ค่าของตัวแปรสุ่มจะเป็นจำนวนจริง ที่มีค่าต่อเนื่องกัน
ดังนั้นการหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนี้ จะเป็นลักษณะของการหาความ
น่าจะเป็น ที่ตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เช่น P(a < x < b) หรือ P(x ≥ c) หรือ P(x < d) เป็นต้น

ฟังก์ชัน f (x) จะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น สาหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถ้า

 

• การคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Expectation)

สำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ว่าจะเป็นแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องก็ตาม
ค่าคาดคะเนของตัวแปรสุ่มหมายถึง ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มนั้น
นิยาม 9.5 กาหนด X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดคะเนของ X คือ
E(X) และ E(X^2)  โดยที่



 เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

    

 เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ทฤษฎีบท  กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) จะได้ว่า

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม X = μ 

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X = σ^2

cr.
http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/lesson/lesson5.htm
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution
http://as.nida.ac.th/books/jugkarin/Math-Pdf/

ความน่าจะเป็น Pt.1 [ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น]

  ในทางสถิติ คำว่า “การทดลอง” หมายถึงกระบวนการในการที่จะก่อให้เกิดชุดของข้อมูล ชุดของข้อมูลในที่นี้หมายถึงผลทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นจากการทดลอง ตัวอย่างเช่นในการทดลองโยนเหรียญ 1 เหรียญ ผลที่เกิดขึ้นเป็นไปได้ 2 แบบด้วยกันคือ หัวหรือก้อย ในการทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก ผลที่เกิดขึ้นก็จะเป็นไปตามแต้มของลูกเต๋า ผลของการทดลองที่ออกมาแตกต่างกันนั้น สะท้อนให้เห็นถึงความหมายของคำว่า “ความไม่แน่นอน” ความน่าสนใจจะอยู่ที่การศึกษาโอกาส  หรือความน่าจะเป็นของการที่จะเกิดผลเป็นแบบใดแบบหนึ่งว่าเป็นเท่าใด  การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถที่จะทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น เนื่องจากในการทดลองแต่ละครั้งอาจเกิดผลลัพธ์ หลายอย่าง เช่น

• การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ สามารถที่จะทำนายว่าจะออกหัว (H) หรือออกก้อย (T) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ได้ล่วงหน้า
• การโยนลูกเต๋า 1 ลูก ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ ซึ่งเราทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แต่ว่าผลลัพธ์มีหลายอย่าง เราไม่สามารถทำนายได้ว่าจะออกเลขอะไร

  แซมเปิลสเปซ คือผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดหรือเซต    ของมวลสมาชิกที่เป็นผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดของการทดลองสุ่มใด ๆ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S ในการทดลองสุ่มครั้งหนึ่งอาจจะมีแซมเปิลสเปซหลายอันก็ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ

S = {H, T} 

ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าสนใจแต้มบนลูกเต๋า จะได้

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ

S = {HH , HT , TH , TT} 

ในการทดลองนั้นบางครั้งสิ่งที่สนใจอาจเป็นแค่ผลของการทดลองบางส่วน จากผลที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นในการโยนเหรียญ 3 เหรียญ ถ้าพิจารณาถึงจานวนเหรียญที่ขึ้นหัว จะได้ว่า แซมเปิลสเปส S = {0, 1, 2, 3} แต่สิ่งที่สนใจ อาจเป็นแค่จานวนเหรียญที่ขึ้นหัวไม่เกิน 1 เหรียญ เป็นต้น ซึ่งเหตุการณ์  คือ เซตย่อยหรือสับเซต ของแซมเปิลสเปส  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E

ตัวอย่างเช่น ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก

แซมเปิลสเปส S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋ามากกว่า 2 จะได้ว่า

E1 = {3, 4, 5, 6}

ถ้า E2 เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋าเป็นเลขคี่ จะได้ว่า

E2 = {1, 3, 5}

ในการทดลองสุ่มใด ๆ ที่สามารถได้ผลลัพธ์จากการทดลอง และผลที่ได้แต่ละอย่างนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน และเรียกอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนสมาชิกของผลที่ได้ว่า “ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ”

ถ้า N(S) เป็นจำนวนสมาชิของแซมเปิลสเปส S ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน และ N(E) เป็นสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เท่ากับ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) เมื่อ E คือเหตุการณ์ประกอบใด ๆ

P(E) = [N(E)/N(S)]P(E) = ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
N(E) = จำนวนสมาชิกของ E ( Event )
S      = แซมเปิลสเปส
N(S) = จำนวนสมาชิกของ S

 ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพี่ยงใด ซึ่งค่าที่ได้คือ

P (E) มีค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าเหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น
P (E) มีค่าเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
P (E) มีค่าเท่ากับ 0.5 แสดงว่าเหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นและไม่เกิดเท่า ๆ กัน (50%)

ถ้าได้ค่า P (E₁) = 0.4 และ P (E₂ ) = 0.6 แสดงว่าเหตุการณ์ E₁ จะมีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E₂

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

1. ความน่าจะเป็น E ใดๆ จะมีค่า 0 ถึง 1 เสมอ 
2. ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปส S จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ คือ P (S) = 1 หรือ ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์ทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ S แล้วP (E₁) + P (E₂) = P (S) = 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างมีค่าเท่ากับ 0  P(∅) = 0

การกระทำระหว่างเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถกระทำกันได้ด้วยตัวกระทำของเซต คือ ยูเนียน (∪), อินเตอร์เซกชัน (∩), ผลต่าง (-) และคอมพลีเมนต์ (') แล้วทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ดังนี้

 * ข้อกำหนด      ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ A กับ B  เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S 

• ยูเนียนของเหตุกาณ์ (Union of events)

A ∪ B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ A หรือ เหตุการณ์ของ B หรือทั้งสองเหตุการณ์

• อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of events)

A ∩ B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเหตุการณ์

• ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of events)

A - B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ A แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ B

• คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events)

A' คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ A

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น

• เหตุการณ์ที่แยกกันโดยเด็ดขาด ( Mutually Exclusive Event )

คือเหตุการณ์ในการทดลองใด ๆ ถ้าใช้เหตุการณ์ A และ B แล้ว A และB จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมๆ กันได้ในการทดลองแต่ละครั้ง จะได้ค่า P(A ∩ B) = 0


เมื่อ S คือผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น
  กฎข้อที่ 1 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันแล้วจะได้ว่า P(A ∩ B) = 0 หรือ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

• เหตุการณ์ที่ไม่แยกจากันโดยเด็ดขาด ( Non – Mutually Exclusive Event )

ในการทดลองที่มีเหตุการณ์ A และ B มีเหตุการณ์ร่วมกันอยู่ และเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งจะได้ P(A ∩ B) ≠ 0
  กฎข้อที่ 2 ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แล้ว P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

• คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ( Complementary Event )

ถ้าให้ A เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S

Complementary ของ A เขียนแทนด้วย A' ซึ่งค่า A ∩ A' = ∅ หรือ A ∪ A' = S

  กฎข้อที่ 3  ถ้าให้ A' เป็น Complementary ของ A แล้ว  P(A') = 1 - P(A) 

                

cr. 
http://as.nida.ac.th/books/jugkarin/Math-Pdf/
http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/lesson/lesson5.htm
http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/893-6+%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99?groupid=193
http://stattrek.com/probability/probability-rules.aspx
https://www.mathsisfun.com/data/probability-events-mutually-exclusive.html

ปฎิทินจันทรคติ

ปฎิทินจันทรคติ เป็นคำที่เรียกรูปแบบการใช้ปฎิทินแบบหนึ่งซึ่ง โดยดิถีของดวงจันทร์ เพื่อบอกข้างขึ้นข้างแรม และ เดือน

cr. http://www.kksci.com/elreaning/plagotgan/page/e-plagotgan_1.htm

<  ปฏิทินจันทรคติในหนึ่งเดือนจะนับตามการโคจรรอบโลกของดวงจันทร์ ซึ่งประมาณ 29 วันครึ่ง ซึ่งในหนึ่งปีจะแบ่งเป็น 12 เดือนซึ่งมีทั้งหมด 354 วัน ซึ่งเมื่อถึงปีที่จำนวนวันที่เกินมาครบประมาณ 29.5 วันเศษ จะมีการเพิ่มเดือนเข้ามาอีกหนึ่งเดือน ซึ่งทำให้ปีนั้นมี 384 วัน ตัวอย่างเช่นในปฏิทินจันทรคติไทย จะเรียกว่าอธิกมาส โดยจะเพิ่มเดือน 8 เข้ามาอีกหนึ่งเดือนซึ่งเรียกว่า เดือน 8/8 (หรือ 8-8 หรือ 88 ก็เขียน) โดยในปีนั้นจะมี 13 เดือน ในปีที่ 3, 6, 9, 11, 14, 17 และ 19
  ในปีทางจันทรคติ จะมี 12 เดือน ได้แก่ เดือนอ้าย เดือนยี่ เดือนสาม เดือนสี่ เดือนห้า เดือนหก เดือนเจ็ด เดือนแปด เดือนเก้า เดือนสิบ เดือนสิบเอ็ด เดือนสิบสอง โดยเดือนคู่จะมี 30 วัน คือวันขึ้น 1 ค่ำ ถึง วันขึ้น 15 ค่ำ และวันแรม 1 ค่ำ ถึง วันแรม 15 ค่ำ ส่วนเดือนคี่มี 29 วัน คือวันขึ้น 1 ค่ำ ถึง วันขึ้น 15 ค่ำ และวันแรม 1 ค่ำ ถึง วันแรม 14 ค่ำ นอกจากนี้ยังมีบางปีที่มีวันแรม 15 ค่ำ เดือน 7 เรียกว่าอธิกวาร โดยจะมีในปีที่ 6, 12, 17, 22, 28, 33 และ 38 ทั้งนี้ เพื่อให้เดือนแต่ละเดือนมีค่าเฉลี่ยของวันในเดือนเข้าใกล้ 29.530588 วันมากที่สุด 

 อ้างอิง https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B4                                                                                                               >

  ซึ่งใช้ในการอ้างอิง วันสำคัญทางพระพุทธศาสนา (ปฏิทินจันทรคติในแต่ละประเทศและนิกาย) , ศาสนาอิสลาม (ปฏิทินฮิจเราะห์) และ เทศกาลฉลองตามประเพณีดั้งเดิม
 ในที่นี้จะกล่าวถึง วันสำคัญทางพระพุทธศาสนา และ เทศกาลฉลองตามประเพณีจีน เท่านั้น

• วันขึ้น 15 ค่ำ (ของทุกเดือน) เป็นวันพระใหญ่ และ เป็นที่ดวงจันทร์เต็มดวง [a]
• วันแรม 15 ค่ำ / วันแรม 15 ค่ำ (ของทุกเดือน) เป็นวันพระใหญ่ และ เป็นที่ดวงจันทร์ดับ
• วันขึ้น 8 ค่ำ / วันแรม 8 ค่ำ (ของทุกเดือน) เป็นวันพระเล็ก
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 3  เป็นวันมาฆบูชา [b]
  * วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 4 เมื่อเป็นปีอธิกมาส
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 6  เป็นวันวิสาขบูชา [c]
  * วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 7 เมื่อเป็นปีอธิกมาส
• วันแรม 8 ค่ำ เดือน 6  เป็นวันวิสาขบูชา [d]
  * วันแรม 8 ค่ำ เดือน 7 เมื่อเป็นปีอธิกมาส
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 8  เป็นวันอาสาฬหบูชา [e]
  * วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 8-8 เมื่อเป็นปีอธิกมาส
• วันแรม 1 ค่ำ เดือน 8  เป็นวันเข้าพรรษา (แรก) [f]
  * วันแรม 1 ค่ำ เดือน 8-8  เมื่อเป็นปีอธิกมาส
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 9 เป็นวันสาทรจีน
• วันแรม 1 ค่ำ เดือน 9  เป็นวันเข้าพรรษา (หลัง)
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 10 เป็นวันไหว้พระจันทร์ และ วันครูวิชชาธรรมกาย [h]
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 11  เป็นวันออกพรรษา (แรก) และ วันมหาปวารณา [g]
• วันขึ้น 15 ค่ำ เดือน 12  เป็นวันออกพรรษา (หลัง)

 cr. 
 https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B4
 https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B9%84%E0%B8%97%E0%B8%A2
 https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%AE%E0%B8%B4%E0%B8%88%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C
http://download.clib.psu.ac.th/datawebclib/exhonline/sartchin/page1.html
http://www.myfirstbrain.com/main_view.aspx?ID=11388
VDO cr.
[a] มหัศจรรย์ วันพระ ฉบับเต็ม - https://www.youtube.com/watch?v=jWaSzj_cuW0
[b] ความสำคัญของวันมาฆบูชา - https://www.youtube.com/watch?v=kISFGx0d5Kc
[c] วิสาขบูชา วันสำคัญสากลโลก - https://www.youtube.com/watch?v=DAR-2Bpaf4s
[d] วันอัฏฐมีบูชา - https://www.youtube.com/watch?v=tR-WnszYVDA
[e] วันอาสาฬหบูชา - https://www.youtube.com/watch?v=biqFVMpPs6w
[f] ประวัติวันเข้าพรรษา - https://www.youtube.com/watch?v=V83RyX1zydY
[g] วันมหาปวารณา (วันออกพรรษา) - https://www.youtube.com/watch?v=kMDwIDmUue4
[h] วันครูวิชาธรรมกาย - https://www.youtube.com/watch?v=vhyqX6k-S5o

                                                                                 

  

จำนวนอตรรกยะ ที่น่าจดจำ

 จำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มได้

(หมายเหตุ: นิยามของ จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b ที่ตัวเศษ a และตัวส่วน b เป็นจำนวนเต็ม และ  b ไม่เท่ากับ 0 ได้)

ซึ่ง มีตัวอย่างที่สำคัญ เช่น

• ลอการิทึมธรรมชาติของ 2 (หรือ ln(2)) เป็นค่าคงที่การสลายตัวในการหาครึ่งชีวิตของกัมมันตภาพรังสี
• รากที่ 12 ของ 2 (หรือ  ) เป็นค่าอัตราส่วนระหว่างความถี่ของตัวโน๊ต
• รากที่ 2 ของ 2 (หรือ √2 ) เป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่รู้จัก เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านยาว 1หน่วย และ เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามาตรฐานISO 216 
• อัตราส่วนทองคำ (หรือ ) เป็นอัตราส่วน ที่มีนิยามว่า a/(a+b) = b/a เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a>b เป็นอัตราส่วนที่ใช้ในศาสตร์ต่างๆ เช่น ศิลปะ สถาปัตยกรรม ดนตรี เป็นต้น และ
  เป็นอัตราส่วนที่พบเจอได้ในธรรมชาติ
• รากที่ 2 ของ 3 (หรือ √3 ) เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมภายในของลูกบากศ์ที่มีด้านยาว 1 หน่วย
• รากที่ 2 ของ 5 (หรือ √5 ) เป็นจำนวนที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ
• e (หรือ ค่าคงที่ของออยเลอร์)  เป็นจำนวนที่สำคัญในการคำนวณ
  (เช่น เป็นค่าคงที่ ที่ใช้ในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง , จำนวนจินตภาพ หรือ
   เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นต้น)
• π (หรือ พาย) เป็นอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
  และจำนวนที่สำคัญในการคำนวณ (เช่น เป็นค่าคงที่ ที่ใช้ในฟังก์ชันตรีโกนมิติ , จำนวนจินตภาพ หรือ  เป็นค่าคงที่ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลมและทรงกลม เป็นต้น)

หมายเหตุ:

• ln(2) ~ 0.693147... หาได้จาก ln(2) = 1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 +...
•  ~ 1.059463...
•   √2 ~ 1.414214... 
•     ~ 1.618034...  หาได้จาก  = (1+√5)/ 2
•   √3 ~ 1.618034... 
•   √5 ~ 1.618034... 
•     e ~  2.718282...  หาได้จาก  e =  1/0! +1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! +...
•     π ~  3.141593...  หาได้จาก  π = 4*(1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 +...)

cr. http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/2370-1+%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0?groupid=396
 http://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithmof2.html
 https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm_of_2
 https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2
 https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
 https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_3
 https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_5
 https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
 https://en.wikipedia.org/?title=Pi