ความน่าจะเป็น Pt.1 [ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น]

  ในทางสถิติ คำว่า “การทดลอง” หมายถึงกระบวนการในการที่จะก่อให้เกิดชุดของข้อมูล ชุดของข้อมูลในที่นี้หมายถึงผลทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นจากการทดลอง ตัวอย่างเช่นในการทดลองโยนเหรียญ 1 เหรียญ ผลที่เกิดขึ้นเป็นไปได้ 2 แบบด้วยกันคือ หัวหรือก้อย ในการทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก ผลที่เกิดขึ้นก็จะเป็นไปตามแต้มของลูกเต๋า ผลของการทดลองที่ออกมาแตกต่างกันนั้น สะท้อนให้เห็นถึงความหมายของคำว่า “ความไม่แน่นอน” ความน่าสนใจจะอยู่ที่การศึกษาโอกาส  หรือความน่าจะเป็นของการที่จะเกิดผลเป็นแบบใดแบบหนึ่งว่าเป็นเท่าใด  การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถที่จะทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น เนื่องจากในการทดลองแต่ละครั้งอาจเกิดผลลัพธ์ หลายอย่าง เช่น

• การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ สามารถที่จะทำนายว่าจะออกหัว (H) หรือออกก้อย (T) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ได้ล่วงหน้า
• การโยนลูกเต๋า 1 ลูก ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ ซึ่งเราทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แต่ว่าผลลัพธ์มีหลายอย่าง เราไม่สามารถทำนายได้ว่าจะออกเลขอะไร

  แซมเปิลสเปซ คือผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดหรือเซต    ของมวลสมาชิกที่เป็นผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดของการทดลองสุ่มใด ๆ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S ในการทดลองสุ่มครั้งหนึ่งอาจจะมีแซมเปิลสเปซหลายอันก็ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ

S = {H, T} 

ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าสนใจแต้มบนลูกเต๋า จะได้

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ

S = {HH , HT , TH , TT} 

ในการทดลองนั้นบางครั้งสิ่งที่สนใจอาจเป็นแค่ผลของการทดลองบางส่วน จากผลที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่นในการโยนเหรียญ 3 เหรียญ ถ้าพิจารณาถึงจานวนเหรียญที่ขึ้นหัว จะได้ว่า แซมเปิลสเปส S = {0, 1, 2, 3} แต่สิ่งที่สนใจ อาจเป็นแค่จานวนเหรียญที่ขึ้นหัวไม่เกิน 1 เหรียญ เป็นต้น ซึ่งเหตุการณ์  คือ เซตย่อยหรือสับเซต ของแซมเปิลสเปส  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E

ตัวอย่างเช่น ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก

แซมเปิลสเปส S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋ามากกว่า 2 จะได้ว่า

E1 = {3, 4, 5, 6}

ถ้า E2 เป็นเหตุการณ์ที่แต้มบนลูกเต๋าเป็นเลขคี่ จะได้ว่า

E2 = {1, 3, 5}

ในการทดลองสุ่มใด ๆ ที่สามารถได้ผลลัพธ์จากการทดลอง และผลที่ได้แต่ละอย่างนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน และเรียกอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนสมาชิกของผลที่ได้ว่า “ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ”

ถ้า N(S) เป็นจำนวนสมาชิของแซมเปิลสเปส S ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน และ N(E) เป็นสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เท่ากับ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) เมื่อ E คือเหตุการณ์ประกอบใด ๆ

P(E) = [N(E)/N(S)]P(E) = ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
N(E) = จำนวนสมาชิกของ E ( Event )
S      = แซมเปิลสเปส
N(S) = จำนวนสมาชิกของ S

 ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพี่ยงใด ซึ่งค่าที่ได้คือ

P (E) มีค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าเหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น
P (E) มีค่าเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
P (E) มีค่าเท่ากับ 0.5 แสดงว่าเหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นและไม่เกิดเท่า ๆ กัน (50%)

ถ้าได้ค่า P (E₁) = 0.4 และ P (E₂ ) = 0.6 แสดงว่าเหตุการณ์ E₁ จะมีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E₂

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

1. ความน่าจะเป็น E ใดๆ จะมีค่า 0 ถึง 1 เสมอ 
2. ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปส S จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ คือ P (S) = 1 หรือ ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์ทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ S แล้วP (E₁) + P (E₂) = P (S) = 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างมีค่าเท่ากับ 0  P(∅) = 0

การกระทำระหว่างเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถกระทำกันได้ด้วยตัวกระทำของเซต คือ ยูเนียน (∪), อินเตอร์เซกชัน (∩), ผลต่าง (-) และคอมพลีเมนต์ (') แล้วทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ดังนี้

 * ข้อกำหนด      ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ A กับ B  เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S 

• ยูเนียนของเหตุกาณ์ (Union of events)

A ∪ B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ A หรือ เหตุการณ์ของ B หรือทั้งสองเหตุการณ์

• อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of events)

A ∩ B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเหตุการณ์

• ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of events)

A - B คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ A แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ B

• คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events)

A' คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ A

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น

• เหตุการณ์ที่แยกกันโดยเด็ดขาด ( Mutually Exclusive Event )

คือเหตุการณ์ในการทดลองใด ๆ ถ้าใช้เหตุการณ์ A และ B แล้ว A และB จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมๆ กันได้ในการทดลองแต่ละครั้ง จะได้ค่า P(A ∩ B) = 0


เมื่อ S คือผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น
  กฎข้อที่ 1 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันแล้วจะได้ว่า P(A ∩ B) = 0 หรือ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

• เหตุการณ์ที่ไม่แยกจากันโดยเด็ดขาด ( Non – Mutually Exclusive Event )

ในการทดลองที่มีเหตุการณ์ A และ B มีเหตุการณ์ร่วมกันอยู่ และเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งจะได้ P(A ∩ B) ≠ 0
  กฎข้อที่ 2 ถ้า E₁ และ E₂ เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แล้ว P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

• คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ( Complementary Event )

ถ้าให้ A เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S

Complementary ของ A เขียนแทนด้วย A' ซึ่งค่า A ∩ A' = ∅ หรือ A ∪ A' = S

  กฎข้อที่ 3  ถ้าให้ A' เป็น Complementary ของ A แล้ว  P(A') = 1 - P(A) 

                

cr. 
http://as.nida.ac.th/books/jugkarin/Math-Pdf/
http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/lesson/lesson5.htm
http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/893-6+%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99?groupid=193
http://stattrek.com/probability/probability-rules.aspx
https://www.mathsisfun.com/data/probability-events-mutually-exclusive.html