My Trivia Blog: ความน่าจะเป็น Pt.5 [การแจกแจงอื่นๆที่น่าสนใจ]

ใน 2 ส่วน ที่ผ่านมา (pt.3,pt.4) ได้มีการกล่าวถึง การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง และ
การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ซึ่ง ในส่วนนี้จะกล่าวถึงการแจกแจงน่าสนใจ

การแจกแจงแบบโคชี่ (Cauchy Distribution)
การแจกแจงแบบพาเรโต (Pareto Distribution)
การแจกแจงแบบที (Student's t-distribution)

การแจกแจงแบบโคชี่

การแจกแจงแบบโคชี่ เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงจำนวนจริง ซึ่ง

และเมื่อ k=0 และ γ=1 จะได้ว่า

ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสามารถหาได้จาก arctan(x)
การแจกแจงแบบพาเรโต

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มของการแจกแจงแบบพาเรโต (ในที่นี้จะกล่าวถึง Type-I เท่านั้น) แล้ว
ความน่าจะป็นของ X เมื่อมากกว่า x จะได้ว่า

เมื่อ k เป็นจำนวนจริงบวกที่น้อยที่สุดของ X และ α เป็นจำนวนจริงบวก
การแจกแจงแบบพาเรโต Type-I มีลักษณะพิเศษโดย ค่า k (scale parameter) และ ค่า α (shape parameter หรือ tail index)
การแจกแจงแบบทีการแจกแจงแบบที เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่ สำคัญและนิยมใช้กันมาก
การแจกแจงแบบที มีลักษณะคล้ายกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน โดยที่การแจกแจงทั้งสอง
มีโค้งความถี่เป็นรูประฆังคว้ำ และ สมมาตรกันรอบค่าเฉลี่ย ซึ่งมีค่าเป็น 0 แต่การแจกแจงแบบที มีการผันแปรมากกว่า เนื่องจากค่าของ ที ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของค่าสถิติ 2 ค่า μ คือ σ² และ ในขณะที่ค่า z ขึ้นอยู่กับค่าสถิติเพียงค่าเดียวดังนั้นการแจกแจง t และ z ต่างกันเนื่องจากขนาดของตัวอย่ างท่ี่ใช้แต่การแจกแจงทั้ งสองจะไม่แตกต่างกันเมื่อขนาดตัวอย่างที่ใช้มีขนาดใหญ่มา

ถ้า Z เป็นตัวแปรสุ่มแบบปกติ และ Y เป็นตัวแปรสุ่มแบบไคสแควร์ด้วยองศาอิสระ v
และถ้า Z และ Y เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นอิสระกันแล้วตัวแปรสุ่ม
จะมีการแจกแจงแบบทีด้วยองศาอิสระ v และมีฟังก์ชันความน่าจะป็น