My Trivia Blog: ความน่าจะเป็น Pt.2 [การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม]

ตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันหรือเงื่อนไขที่ทำการเปลี่ยนเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นจากการทดลองหรือการสุ่มสิ่งตัวอย่างให้เป็นตัวเลข ซึ่งตัวแปรสุ่มนี้นิยมเขียนแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษ เช่น X, Y, Z เป็นต้น
ตัวอย่าง จงเขียนตัวแปรสุ่มของจำนวนหัวจากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง
วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนหัว และกำหนดให้ H เป็นหัว และ T เป็นก้อย
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

ดังนั้น X = 0, 1, 2, 3

ตัวแปรสุ่มแบ่งได้ 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าตัวเลขที่เขียนแทนตัวแปรสุ่มนั้น ๆ เช่นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

1. ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable )

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องถ้าค่าทั้งหมดของ X มีจำนวนจำกัด ถ้ามีจำนวนอนันต์ค่าแต่ละค่าจะต้องแตกต่างกันอย่างชัดแจ้ง โดยมากตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องจะบ่งบอกถึงจำนวนที่ได้จากการนับ     เช่น    จำนวนตู้เย็นที่มีตำหนิกำไรที่ได้จากการขายตู้เย็น   จำนวนนักศึกษาในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นต้น

2. ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ( Continuous random variable )

        ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ค่าของ X จะมีค่าต่อเนื่องกันจนไม่สามารถจะทราบค่าที่บอก

ตำแหน่งของแต่ละจุดได้ ซึ่งจะเป็นตัวแปรสุ่มที่บ่งบอกถึงค่าที่ได้จากการชั่ง ตวง วัด เช่น น้ำหนักของเด็กแรกเกิด ปริมาณน้ำที่ใช้ในประเทศ ความสูงของคนไทยอายุ 20 ปีขึ้นไป เป็นต้น

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

  ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของตัวแปรสุ่ม ๆ แต่ละตัวจะไม่เท่ากันซึ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนั้นมี 2 ชนิด คือฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง กับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง (Probability mass function)

ค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละค่า จะมีค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรงเหรียญหนึ่งจำนวน 2 ครั้ง ถ้าให้ X เป็นจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว จะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มโดย ที่ค่าของ X เท่ากับ 0, 1, 2 และค่าความน่าจะเป็นของแต่ละค่าตัวแปรสุ่มจะมีค่าดังนี้

P(X = 0) = 0.25 , P(X = 1) = 0.5 , P(X = 2) = 0.25 ,

การเขียนค่าของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าของตัวแปรสุ่ม x นั้นบางครั้งเขียนในรูปของ

f (x) โดยที่ f (x) = P(X = x)

เซตของคู่อันดับ (x, f (x)) จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือการแจกแจงความน่าจะ
เป็นของตัวแปรสุ่ม X ถ้าสาหรับแต่ละค่าของตัวแปรสุ่ม X สอดคล้องเงื่อนไขดังต่อไปนี้

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง (Probability density function)

สำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นแบบต่อเนื่อง ค่าของตัวแปรสุ่มจะเป็นจำนวนจริง ที่มีค่าต่อเนื่องกัน
ดังนั้นการหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนี้ จะเป็นลักษณะของการหาความ
น่าจะเป็น ที่ตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เช่น P(a < x < b) หรือ P(x ≥ c) หรือ P(x < d) เป็นต้น

ฟังก์ชัน f (x) จะเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น สาหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถ้า

การคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Expectation)

สำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ว่าจะเป็นแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องก็ตาม
ค่าคาดคะเนของตัวแปรสุ่มหมายถึง ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มนั้น
นิยาม 9.5 กาหนด X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดคะเนของ X คือ
E(X) และ E(X^2) โดยที่